Вариант 1 · задание 23

Дуги окружности и радиус

1. Найдём углы дуг. Отношение длин трёх дуг — \(3:5:16\), сумма частей \(24\). Большая дуга занимает \(16/24\) полной окружности, то есть \(240^\circ\).

2. Свяжем дугу и вписанный угол. Наибольшая сторона треугольника равна 12 и стягивает большую дугу. Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, равен половине её величины:

\[\alpha=\frac{240^\circ}{2}=120^\circ.\]

3. Применим расширенную теорему синусов. Для стороны \(a=12\), противоположной углу \(120^\circ\):

\[\frac{a}{\sin\alpha}=2R,\qquad R=\frac{12}{2\sin120^\circ}=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3.\]

Ответ: \(4\sqrt3\).

Итог: 4√3