↗ Telegram
Главная→ОГЭ · Математика→Геометрия
VARIANT / СПРАВОЧНИК

Геометрия.

Ключевые правила, формулы и разборы. Никакой привязки к нумерации экзамена: выбирай тему, разбирай её и сразу переходи к упражнениям.

← К практикеВсе разделы теории
НАВИГАЦИЯ ПО ТЕОРИИ
Числа и координатная прямаяВычисленияСтепени и корниУравненияНеравенстваФункции и графикиВероятность и статистикаФормулыГеометрияПоследовательностиПрактические задачиВся теория →
△
ТЕОРИЯ / МАТЕМАТИКА

Геометрия

Углы, треугольники, окружности, площади, подобие и клетчатая бумага

01

Углы и прямые

Смежные углы дают в сумме 180°, вертикальные углы равны. При параллельных прямых и секущей накрест лежащие углы равны.

\[\alpha+\beta=180^\circ\]
ПРИМЕР

Если один смежный угол 65°, второй 115°.

Обрати внимание

Не называй любые соседние углы смежными: их внешние стороны должны образовывать прямую.

02

Сумма углов треугольника

Сумма внутренних углов любого треугольника в евклидовой геометрии равна 180°. В прямоугольном треугольнике два острых угла в сумме дают 90°.

\[\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\]
ПРИМЕР

Если два угла 35° и 65°, третий 80°.

Обрати внимание

В равнобедренном треугольнике равны углы при основании, а не все углы.

03

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Гипотенуза лежит напротив прямого угла.

\[a^2+b^2=c^2\]
Схема: Теорема Пифагора
ПРИМЕР

При катетах 6 и 8 гипотенуза √(36+64)=10.

Обрати внимание

Нельзя применять теорему к произвольному непрямоугольному треугольнику.

04

Площади многоугольников

Площадь прямоугольника — произведение сторон; треугольника — половина произведения основания и высоты; параллелограмма — произведение основания на высоту.

\[S_{\text{прям}}=ab\qquad S_{\triangle}=\dfrac{ah}2\qquad S_{\text{паралл}}=ah\]
ПРИМЕР

Основание треугольника 12 см, высота 7 см: S=42 см².

Обрати внимание

Высота обычно не равна наклонной стороне.

05

Окружность и круг

Радиус соединяет центр с точкой окружности, диаметр равен двум радиусам. Длина окружности и площадь круга выражаются через π.

\[d=2r\qquad L=2\pi r\qquad S=\pi r^2\]
Схема: Окружность и круг
ПРИМЕР

При r=3: L=6π, S=9π.

Обрати внимание

Не путай длину окружности и площадь круга.

06

Вписанные и центральные углы

Центральный угол измеряет дугу, на которую он опирается. Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, вдвое меньше центрального.

\[\angle ACB=\dfrac12\angle AOB\quad\text{(та же дуга)}\]
ПРИМЕР

Если центральный угол 100°, вписанный, опирающийся на ту же дугу, равен 50°.

Обрати внимание

Важно, чтобы оба угла опирались на одну и ту же дугу.

07

Подобие треугольников

У подобных треугольников соответствующие углы равны, а стороны пропорциональны с одним коэффициентом. Площади относятся как квадраты коэффициента подобия.

\[\dfrac{S_2}{S_1}=k^2\]
ПРИМЕР

При увеличении всех сторон в 3 раза площадь растёт в 9 раз.

Обрати внимание

Площади не относятся линейно с коэффициентом k.

08

Клетчатая бумага

Площадь прямоугольника удобно считать по числу клеток. Для треугольника используйте половину произведения основания на высоту. Для сложной фигуры можно вычесть лишние части из окружающего прямоугольника.

\[S_{\triangle}=\dfrac{bh}2\]
ПРИМЕР

Треугольник с основанием 6 клеток и высотой 4 клетки занимает 12 клеток².

Обрати внимание

Следи за размером клетки: её сторона не всегда 1 см.

Прочитал тему? Закрепи её задачами.Тренировка откроется сразу с упражнениями по теме.
Практика: Геометрия →