Неравенства

x > ?

ТЕОРИЯ / МАТЕМАТИКА

Линейные, системы, интервалы и квадратные неравенства

Выполняй почти те же преобразования, что и в уравнении. При умножении или делении обеих частей на отрицательное число меняй знак неравенства.

\[-2x<6\quad\Longrightarrow\quad x>-3\]

ПРИМЕР

3x+4>10 ⇒ 3x>6 ⇒ x>2.

Обрати внимание

Знак при делении на −2 меняется: «<» становится «>».

Условие x>2 исключает 2; условие x≥2 включает 2. При изображении на прямой открытая точка означает исключённую границу, закрашенная — включённую.

\[x>2:\ (2;+\infty)\qquad x\ge2:\ [2;+\infty)\]

ПРИМЕР

Наименьшее целое при x>2 — 3, а при x≥2 — 2.

Обрати внимание

Следи за словами «наибольшее целое», «строго», «не меньше».

Система требует одновременного выполнения всех условий. Изобрази решения на одной прямой и возьми пересечение промежутков.

\[\begin{aligned}\begin{cases}x>-1\\x\le4\end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad x\in(-1;4]\end{aligned}\]

ПРИМЕР

Подходящие целые: 0,1,2,3,4 — всего 5.

Обрати внимание

Не объединяй промежутки при решении системы: нужно пересечение.

Найди точки, где каждый множитель равен нулю. Разбей прямую на интервалы, определи знак произведения на каждом.

\[(x-2)(x+1)\le0\quad\Longleftrightarrow\quad x\in[-1;2]\]

ПРИМЕР

Например, x=0: (−2)·1<0; внутри интервала произведение отрицательно.

Обрати внимание

При нестрогом знаке корни включаются, если выражение в них определено.

График параболы помогает понять, где квадратный трёхчлен положителен или отрицателен. При a>0 ветви вверх; при a<0 — вниз.

\[x^2-4<0\quad\Longleftrightarrow\quad -2<x<2\]

ПРИМЕР

x²<4 ⇒ |x|<2 ⇒ (−2;2).

Обрати внимание

Всегда учитывай знак коэффициента при x².

Прочитал тему? Закрепи её задачами.Тренировка откроется сразу с упражнениями по теме.

Неравенства.